Mínimos quadrados, de três maneiras

Tue, 18 Aug 2026 00:00:00 +0000

Os ajustes polinomiais tornam a diferença visível: com doze colunas, as equações normais perdem todos os algarismos, enquanto a QR e a SVD mantêm oito ou nove. Uma identidade sobre números de condição explica porquê e diz quando o método rápido é suficiente.

Porque é que a variância amostral divide por n − 1

Mon, 19 Feb 2024 00:00:00 +0000

Todas as disciplinas introdutórias definem a variância amostral com $n - 1$ no denominador, e a maioria dos estudantes aceita-o por confiança. A razão cabe em três linhas, e o mesmo acontece com a ressalva que costuma ficar por dizer.

Definição — Variância amostral

Para observações

x_1, \dots, x_n

com média

\bar x = \frac{1}{n} \sum_{i} x_i

, seja

S = \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar x)^2

. A variância amostral é

s^2 = S / (n - 1)

; a variância empírica é

\hat\sigma^2 = S / n

O enviesamento e a sua correção

Teorema — Ausência de enviesamento

X_1, \dots, X_n

são independentes com média

\mu

e variância

\sigma^2 < \infty

, então

\mathbb{E}[S] = (n - 1)\,\sigma^2

. Consequentemente

\mathbb{E}[s^2] = \sigma^2

, enquanto

\mathbb{E}[\hat\sigma^2] = \frac{n-1}{n}\,\sigma^2

Demonstração.

Decomponha-se cada desvio em relação à média verdadeira num desvio em relação à média amostral e no erro da média amostral. Os termos cruzados somam zero, o que dá a identidade $\sum_i (X_i - \mu)^2 = S + n (\bar X - \mu)^2$ . Tomando valores esperados,

\begin{aligned} \mathbb{E}[S] &= \sum_{i=1}^{n} \mathbb{E}\bigl[(X_i - \mu)^2\bigr] - n\, \mathbb{E}\bigl[(\bar X - \mu)^2\bigr] \\ &= n \sigma^2 - n \operatorname{Var}(\bar X) = n\sigma^2 - \sigma^2 = (n - 1)\, \sigma^2, \end{aligned}

porque a independência dá $\operatorname{Var}(\bar X) = \sigma^2 / n$ .

Artigos on DataLeaf

Mínimos quadrados, de três maneiras

Porque é que a variância amostral divide por n − 1

O enviesamento e a sua correção