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Porque é que a variância amostral divide por n − 1

Uma demonstração curta de que dividir por n − 1 elimina o enviesamento, e um lembrete de que o estimador centrado não é o mais exato.

19 de fevereiro de 2024 3 min de leitura Por Diogo Ribeiro

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Todas as disciplinas introdutórias definem a variância amostral com $n - 1$ no denominador, e a maioria dos estudantes aceita-o por confiança. A razão cabe em três linhas, e o mesmo acontece com a ressalva que costuma ficar por dizer.

Definição — Variância amostral

Para observações

x_1, \dots, x_n

com média

\bar x = \frac{1}{n} \sum_{i} x_i

, seja

S = \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar x)^2

. A variância amostral é

s^2 = S / (n - 1)

; a variância empírica é

\hat\sigma^2 = S / n

O enviesamento e a sua correção

Teorema — Ausência de enviesamento

X_1, \dots, X_n

são independentes com média

\mu

e variância

\sigma^2 < \infty

, então

\mathbb{E}[S] = (n - 1)\,\sigma^2

. Consequentemente

\mathbb{E}[s^2] = \sigma^2

, enquanto

\mathbb{E}[\hat\sigma^2] = \frac{n-1}{n}\,\sigma^2

Demonstração.

Decomponha-se cada desvio em relação à média verdadeira num desvio em relação à média amostral e no erro da média amostral. Os termos cruzados somam zero, o que dá a identidade $\sum_i (X_i - \mu)^2 = S + n (\bar X - \mu)^2$ . Tomando valores esperados,

\begin{aligned} \mathbb{E}[S] &= \sum_{i=1}^{n} \mathbb{E}\bigl[(X_i - \mu)^2\bigr] - n\, \mathbb{E}\bigl[(\bar X - \mu)^2\bigr] \\ &= n \sigma^2 - n \operatorname{Var}(\bar X) = n\sigma^2 - \sigma^2 = (n - 1)\, \sigma^2, \end{aligned}

porque a independência dá $\operatorname{Var}(\bar X) = \sigma^2 / n$ .

A intuição é que $\bar x$ é ajustada aos mesmos dados com que é comparada. A média amostral é o ponto que minimiza a soma dos quadrados dos desvios, pelo que os dados parecem sempre um pouco menos dispersos em torno de $\bar x$ do que em torno do $\mu$ desconhecido. Estimar a média consome um grau de liberdade, e dividir por $n - 1$ em vez de $n$ repõe exatamente o valor esperado.¹

Centrado não é o mesmo que exato

A correção acerta a média do estimador, não a sua dispersão, e em amostras pequenas é a dispersão que domina.

Observação

Para dados normais, $S / \sigma^2$ segue uma distribuição $\chi^2_{n-1}$ , pelo que $\operatorname{Var}(S) = 2 (n - 1)\, \sigma^4$ . O erro quadrático médio de $S / c$ é

\operatorname{EQM}(S / c) = \sigma^4 \left[ \frac{2(n-1)}{c^2} + \left( \frac{n-1}{c} - 1 \right)^{2} \right],

que é mínimo em $c = n + 1$ . Dividir por $n - 1$ dá o único estimador centrado dos três, e o de maior erro.

Exemplo — Uma simulação

Gerem-se 200 000 amostras de dimensão

n

de uma distribuição normal padrão, de modo que

\sigma^2 = 1

, e calculem-se os três estimadores para cada amostra. A tabela dá os valores exatos da observação anterior, com os valores simulados entre parênteses.

Dimensão $n$	Média de $S/n$	EQM de $S/(n-1)$	EQM de $S/n$	EQM de $S/(n+1)$
2	0,500 (0,500)	2,000 (2,009)	0,750 (0,752)	0,667 (0,667)
3	0,667 (0,666)	1,000 (1,004)	0,556 (0,558)	0,500 (0,502)
5	0,800 (0,801)	0,500 (0,501)	0,360 (0,360)	0,333 (0,333)
10	0,900 (0,900)	0,222 (0,223)	0,190 (0,191)	0,182 (0,182)
30	0,967 (0,968)	0,069 (0,069)	0,066 (0,066)	0,065 (0,065)

Com duas observações, o estimador centrado tem o triplo do erro quadrático médio de $S / (n + 1)$ . Com trinta observações, os erros diferem menos de dez por cento, e a escolha quase não importa.

Qual reportar

Reporte $s^2$ quando a variância alimenta algo que depende da ausência de enviesamento: estimativas combinadas, estatísticas $t$ e as fórmulas habituais que a pressupõem. Use $\hat\sigma^2$ quando é a estimativa de máxima verosimilhança num modelo maior e a coerência com esse modelo importa mais. E quando uma única variância de uma amostra pequena tiver de ficar o mais perto possível da verdade, lembre-se de que nenhuma das duas é a escolha mais exata.

A correção deve o nome ao astrónomo Friedrich Wilhelm Bessel. ↩︎